Question

3．用数学归纳法证明不等式1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N^*），则n=k+1与n=k相比，不等式左边增加的项数是（　　）

• A． 1
• B． k-1
• C． k
• D． 2^k

Answer 1

分析 分别计算当n=k和n=k+1时左侧最后一项的分母即左侧的项数即可得出答案．

解答 解：当n=k时，不等式左侧为1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
当n=k+1时，不等式左侧为1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，
∴不等式左边增加的项数是（2^k+1-1）-（2^k-1）=2^k．
故选：D．

点评 本题考查了数学归纳法的证明，属于中档题．