Question

15．圆与两平行线x+3y-5=0，x+3y-3=0相切，圆心在直线2x+y+1=0，则这个圆的方程为${（{x+\frac{7}{5}}）^2}+{（{y-\frac{9}{5}}）^2}=\frac{1}{10}$ （化标准式）．

Answer 1

分析 根据直线和圆的位置关系，求出圆心与半径，即可得到结论．

解答 解：∵直线x+3y-5=0和x+3y-3=0平行，
∴x+3y-5=0和x+3y-3=0的距离为d=$\frac{|-5+3|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∵圆与直线x+3y-5=0和x+3y-3=0都相切，
∴直径2r=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，即圆的半径r=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∵直线x+3y-5=0和x+3y-3=0关于x+3y-4=0对称，且圆心在直线2x+y+1=0上，
则由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+1=0}\\{x+3y-4=0}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{7}{5}$，y=$\frac{9}{5}$，
则圆心为（-$\frac{7}{5}$，$\frac{9}{5}$），
则圆的方程为${（{x+\frac{7}{5}}）^2}+{（{y-\frac{9}{5}}）^2}=\frac{1}{10}$．
故答案为：${（{x+\frac{7}{5}}）^2}+{（{y-\frac{9}{5}}）^2}=\frac{1}{10}$．

点评 本题主要考查圆的方程的求解，根据直线和圆的位置关系，求出圆心和半径是解决本题的关键．