Question

7．已知$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，且$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，
（1）求$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{q}$=（1，0），且$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{q}$的夹角为$\frac{π}{2}$，$\overrightarrow{p}$=（cosA，1+cosC），其中A、B、C为△ABC的内角，A、B、C依次成等差数列，求|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{n}$=（x，y），由于$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，且$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，可得cos$\frac{3π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，x+y=-1．联立解出即可．
（2）利用向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）的夹角为$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{p}$=（cosA，1+cosC），结合三角形的内角和，A、B、C依次成等差数列，求出B，C与A的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{n}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，且$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，
∴cos$\frac{3π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，x+y=-1．
化为$\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，0）或（0，-1）．
（2）∵$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{q}$的夹角为$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$=0，
∵若$\overrightarrow{n}$=（-1，0），则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$=-1≠0，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1）．
∵2B=A+C，A+B+C=π，可得：B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-A，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|=$\sqrt{co{s}^{2}A+co{s}^{2}C}$=$\sqrt{\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2C}{2}}$=$\sqrt{\frac{cos2A+cos2C}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{cos2A+cos（\frac{4π}{3}-2A）}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{cos2A-\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{cos（2A+\frac{π}{3}）}{2}+1}$
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，可得：0$＜2A＜\frac{4π}{3}$，即：$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
∴-1≤cos（2A+$\frac{π}{3}$）$＜\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|∈$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，三角函数的化简求值，以及函数值的范围的确定，考查计算能力，转化思想，属于中档题．