Question

12．已知A_n⁴=24C_n⁶，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，则n=10，a₁+a₂+a₃+…+a_n=0．

Answer 1

分析 根据A_n⁴=24C_n⁶，求得n=10，可得（2x-3）¹⁰═a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，令x=1，可得a₀=1； 令x=2，可得 1=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n ，从而求得 a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

解答 解：∵A_n⁴=24C_n⁶，即n（n-1）（n-2）（n-3）=24•$\frac{n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）（n-5）}{6!}$，
∴n=10．
∵（2x-3）ⁿ=（2x-3）¹⁰═a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，
令x=1，可得a₀=1； 令x=2，可得 1=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n ，∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=0，
故答案为：10；   0．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．