Question

2．已知锐角三角形的边长分别2、3、x，则x的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$）
• B． （1，5）
• C． （1，$\sqrt{5}$）
• D． （$\sqrt{13}$，5）

Answer 1

分析 由已知可得三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．

解答 解：∵三角形为锐角三角形，
∴三角形的三个内角都为锐角，
则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=$\frac{{2}^{2}+{x}^{2}-{3}^{2}}{4x}$＞0，
即x²＞5，解得x＞$\sqrt{5}$或x＜-$\sqrt{5}$（舍去）；
设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{x}^{2}}{12}$＞0，
即x²＜13，解得0＜x＜$\sqrt{13}$，
则x的取值范围是$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{13}$．
故选：A．

点评 此题考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练运用余弦定理是解本题的关键，属于中档题．