Question

5．已知函数f（x²-1）=log_a$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）≥log_a（4x+1）．

Answer 1

分析 （1）令t=x²-1（t≥-1）换元，得x²=t+1，代入原函数可得f（x）的解析式；
（2）把f（x）的解析式代入式f（x）≥log_a（4x+1），然后对a分类讨论求得不等式的解集．

解答 解：（1）令t=x²-1（t≥-1），则x²=t+1，
∴由f（x²-1）=log_a$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（a＞0且a≠1），得f（t）=$lo{g}_{a}\frac{t+1}{1-t}$，
即f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1）；
（2）f（x）≥log_a（4x+1）?$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}≥lo{g}_{a}（4x+1）$，
当a＞1时，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}≥4x+1}\\{4x+1＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{4}＜x≤0$或$\frac{1}{2}≤x＜1$；
当0＜a＜1时，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}≤4x+1}\\{-1＜x＜1}\end{array}\right.$，解得0$≤x≤\frac{1}{2}$．
∴当a＞1时，不等式的解集为{x|$-\frac{1}{4}＜x≤0$或$\frac{1}{2}≤x＜1$}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|0$≤x≤\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．