Question

15．已知函数f（x）=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，ω＞0，ϕ∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}$]）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，函数的值域为[-$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}$]，且当x=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的表达式，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{3}}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用三角函数的周期性和最值求得A、k、ω的值，从而求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{3}}$]上的取值范围．

解答 解：（1）∵函数函数f（x）=Asin（2ωx+ϕ）+k的值域为$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$，A＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}A+k=\frac{3}{2}\\-A+k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}A=1\\ k=\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
又$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，∴ω=2，∵当$x=\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$．
∴$4×\frac{π}{6}+ϕ=2kπ+\frac{π}{2}$，又$ϕ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，∴$ϕ=-\frac{π}{6}$，∴$f（x）=sin（{4x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$．
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（k∈Z），所以f（x）的增区间为$[{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}}]$（k∈Z）．
（2）因为x∈$[{0，\frac{π}{3}}]$，所以4x-$\frac{π}{6}$∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
所以sin$（{4x-\frac{π}{6}}）$∈$[{-\frac{1}{2}，1}]$，所以f（x）∈$[{0，\frac{3}{2}}]$，
故f（x）在区间$[{0，\frac{π}{3}}]$上的取值范围是$[{0，\frac{3}{2}}]$．

点评 本题主要考查三角函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．