【题目】甲、乙两人进行围棋比赛,比赛要求双方下满五盘棋,开始时甲每盘棋赢的概率为,由于心态不稳,甲一旦输一盘棋,他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋,且已知前两盘棋都是甲赢.
(Ⅰ)求第四盘棋甲赢的概率;
(Ⅱ)求比赛结束时,甲恰好赢三盘棋的概率.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)分两种情况:①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢,②第三盘棋乙赢、第四盘棋甲赢,结合古典概型的概率计算公式以及独立事件的概率乘法公式即可求出答案;
(Ⅱ)分三种情况:①甲第三盘赢,②甲第四盘赢,③甲第五盘赢,结合古典概型的概率计算公式以及独立事件的概率乘法公式即可求出答案.
解:(Ⅰ)设事件为“第四盘棋甲赢”,若第四盘棋甲赢,分两种情况:
若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢,概率,
若第三盘棋乙赢,第四盘棋甲赢,概率,
∴;
(Ⅱ)设事件为“比赛结束时,甲恰好赢三盘棋”,若甲恰好赢三盘棋,则他在后三盘棋中只赢一盘,分三种情况:
若甲第三盘赢,概率,
若甲第四盘赢,概率,
若甲第五盘赢,概率,
∴.
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【题目】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价﹣投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
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【题目】辊子是客家传统农具,南方农民犁开田地后,仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴,两侧装上木板,人跨开两脚站立,既能掌握平衡,又能增加重量,让牛拉动辊轴前进,压碎土块,以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度,即布施持戒忍辱精进禅定与般若.若甲乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片,则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为______.
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【题目】在平面直角坐标系中,点为椭圆:的右焦点,过的直线与椭圆交于、两点,线段的中点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线、斜率的乘积为,两直线,分别与椭圆交于、、、四点,求四边形的面积.
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【题目】已知直线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若点在直线上,且,求直线的斜率;
(2)若,求曲线上的点到直线的距离的最大值.
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【题目】如图所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形ABCD为平行四边形,∠DAB=45°,四边形CDEF为直角梯形,EF∥DC,ED⊥CD,AB=3EF=3,ED=a,AD.
(1)求证:AD⊥BF;
(2)若线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,求的值;
(3)若a=1,求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.
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