Question

【题目】如图所示，平面CDEF⊥平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，ED⊥CD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD.

（1）求证：AD⊥BF；

（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；

（3）若a＝1，求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD及直线BF的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；

（2）设，根据题设数据，求出平面BDN的一个法向量，以及直线AE的方向向量，利用AE∥平面BDM，建立关于λ的方程，解出即可；

（3）求出平面BCF及平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式即可得解.

解：（1）∵平面CDEF⊥平面ABCD，ED⊥CD，

∴ED⊥平面ABCD，

如图，以D为原点，DC所在直线为y轴，过点D垂直于DC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

∵∠DAB＝45°，AB＝3EF＝3，，

∴A（1，﹣1，0），B（1，2，0），C（0，3，0），E（0，0，a），F（0，1，a），

∴，

∴，

∴AD⊥EF；

（2）设，则，

设平面BDM的法向量为，则，

取x1＝2，则，

若AE∥平面BDM，则，即，解得，

∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时；

（3）设平面BCF的法向量为，则，

取x2＝1，则，

又平面BCD的一个法向量为，

∴，

由图可知，二面角D﹣BC﹣F为锐角，故二面角D﹣BC﹣F的余弦值为.