Question

【题目】已知直三棱柱，，，，分别为，，的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）取的中点，连接，，，先证明，，从而可得为平行四边形，进而可得，再结合线面平行的判定定理可证明平面；

（2）设，，，，易知，且，进而用表示出，，并结合，可求出及；

（3）在平面内过点做射线垂直于，易知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，进而分别求得平面及平面的法向量，，再由，可求出二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点，连接，，，

则有，且，，且，

又，，所以，且，

所以为平行四边形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）设，，，，

由已知可得，，且，

则，，

因为，所以，

所以，即．

（3）在平面内过点做射线垂直于，易知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

为平面的一个法向量，

，．

设为平面的一个法向量，

则，令，则，

则，

所以二面角的余弦值为．