Question

【题目】在平面直角坐标系中，①已知点，直线，动点P满足到点Q的距离与到直线的距离之比为．②已知点是圆上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P．③点分别在轴，y轴上运动，且，动点P满足．

（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

（2）设圆上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）不管选条件几，；（2）以为直径的圆过定点.

【解析】

（1）若选①，则可设，根据距离之比可得满足的方程，化简后可得所求的方程.若选①，根据题设条件可得，由椭圆的定义可得所求的曲线方程.若选③，，设，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程.

（2）当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为，根据它与圆相切可得，再设，可用的横坐标表示以为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理和前述等式化简得到，从而可得以MN为直径的圆过原点.注意讨论斜率不存在的情况.

解：（1）若选①，

设，根据题意得，， 整理得.

所以动点P的轨迹C的方程为.

若选②，由得，

由题意得，所以，

所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，且，故

所以动点P的轨迹C的方程为.

若选③，设，故

因为，所以即，

将其代入得，所以动点P的轨迹C的方程为.

（2）当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为.

当切线方程为时，

以为直径的圆的方程为.①

当切线方程为时，，

以为直径的圆的方程为.②

由①②联立，可解得交点为.

当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为，

则，故.

联立切线与椭圆C的方程并消去y，得

.

因为

，

所以切线与椭圆C恒有两个交点.

设，则，

因为，

所以

.

所以.

所以以MN为直径的圆过原点.

综上所述，以为直径的圆过定点.