Question

【题目】已知圆，圆，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q．问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值，且为．

【解析】

（1）设，根据圆的方程求出的坐标，进而可得，，然后得出动点P的轨迹C的方程.

（2）设出直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，转化求解即可.

（1）设，则，，

所以，，

所以动点的轨迹C的方程为.

（2）由（1）可知E为C的焦点，设直线l的方程为（斜率不为0时），

且设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，

得，

所以，所以，

又射线OQ方程为y＝﹣mx，代入椭圆C的方程得x2+2（my）2＝4，

即，，，所以，

又当直线l的斜率为0时，也符合条件.

综上，为定值，且为.