Question

【题目】若存在常数 k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得无穷数列 {a n }满足a n +1，则称数列{an }为“段差比数列”，其中常数 k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {bn }为“段差比数列”．

（1）已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比数列，求 d 、 t 的值；

（2）已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n 项和为 S3n ．若不等式 S3n≤ λ 3n1对 n ∈ N *恒成立，求实数 λ 的取值范围；

（3）是否存在首项为 b，段差为 d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {bn }，对任意正整数 n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 写出所有满足条件的 {bn }的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2） （3） ，，，

【解析】

（1）的前4项依次为1，，，，先求出，再代入验证，可得结论；

（2）由的首项、段长、段比、段差，

，

是等差数列，又，即可求，从而求实数的取值范围；

（3）取2，3，4时存在，有序数组可以是，，，．

解：（1）的前4项依次为1，，，，

由前三项成等比数列得，

，，

那么第2，3，4项依次为，，，，．

时，，，满足题意；

时，，，满足题意；

（2）的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

，

是以为首项、6为公差的等差数列，

又，

，

，，

设，则，

又，

当时，，；当时，，，

，，

，得，．

（3）取2，3，4时存在，有序数组可以是，，，．