Question

1．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为$ρ=4sin（{θ-\frac{π}{6}}）$．
（I）求圆C的直角坐标方程；
（II）若P（x，y）是圆上的任意一点，求$\sqrt{3}x+y$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求圆C的直角坐标方程；
（II）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$z=\sqrt{3}x+y$得z=-t，即可求$\sqrt{3}x+y$的取值范围．

解答 解：（I）因为圆C的极坐标方程为$ρ=4sin（θ-\frac{π}{6}）$，
所以${ρ^2}=4ρsin（θ-\frac{π}{6}）=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
又ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以x²+y²=$2\sqrt{3}y-2x$，
所以圆C的普通方程x²+y²$+2x-2\sqrt{3}y=0$…（5分）
（II）设$z=\sqrt{3}x+y$，
由圆C的方程x²+y²$+2x-2\sqrt{3}y=0$⇒${（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$，
所以圆C的圆心是$（-1，\sqrt{3}）$，半径是2，
将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$z=\sqrt{3}x+y$得z=-t，
又直线l过$C（-1，\sqrt{3}）$，圆C的半径是2，所以-2≤t≤2，
所以-2≤-t≤2，
即$\sqrt{3}x+y$的取值范围是[-2，2]．（10分）

点评 本题考查极坐标方程与直角方程的互化，考查直线参数方程的运用，属于中档题．