Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）对任意n∈N^*成立，令b_n=a_n+1-a_n，且{b_n}是等比数列．
（1）求实数k的值；   
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）首先根据题干条件a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n求出a₃=9-k，a₄=27-6k，即可求出b₁=2，b₂=6-k，b₃=18-5k，又知{b_n}成等比数列，可得b₂²=b₁•b₃，于是可求出k的值．
（2）根据（1）的条件求出数列{b_n}的通项公式，然后由b_n=a_n+1-a_n，即可求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a₁=1，a₂=3，a₃=9-k，a₄=27-6k，
∴b₁=2，b₂=6-k，b₃=18-5k．
∵{b_n}成等比数列，∴b₂²=b₁•b₃
解得 k=2或k=0（舍）…（4分）
当k=2时，a_n+2=3a_n+1-2a_n
即 a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），∴

bn+1

bn

=2
∴k=2时满足条件．…（6分）
（2）b_n=2ⁿ…（8分）
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（14分）

点评：本题是中档题，考查数列的应用，数列基本知识的应用，考查转化思想，累加法是数列求和的常用方法，常考题型．