Question

2．如图，在中心角为60°，半径为1的扇形OAB的半径OB上任取一点M，作内接矩形MNPQ，设∠QOA=θ，矩形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）求S的最大值；
（3）如果分别在OA，OB上任取一点C、D，使OC=OD，按如图方式作扇形的内接矩形CDEF，设该矩形的面积为S′，问S′的最大值与S的最大值，哪一个更大，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△QOP中，利用直角三角形中的边角关系求得矩形的底和高，可得关于矩形的面积S的解析式，化简可得结果．
（2）由S的解析式并利用正弦函数的定义域有何值域可得，当2θ+30°=90°面积S取得最大值．
（3）割一半的内角为30°半径为1的扇形，内接矩形与（1）（2）相同．

解答 解：（1）在Rt△QOP中，QP=MN=sinθ，OP=cosθ．
在Rt△ONM中，ON=$\frac{MN}{tan\frac{π}{3}}$=$\frac{sinθ}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$sinθ，
∴NP=OP-ON=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
则矩形的面积S=f（θ）=NP•PQ=sinθ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ，
=$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2θ）
=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，（0＜θ＜$\frac{π}{3}$）．
（2））∵0＜θ＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因此，当α=$\frac{π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）割一半的内角为30°半径为1的扇形，内接矩形与（1）（2）相同，
PE=sinθ，OP=cosθ，ON=$\sqrt{3}$sinθ，
∴PN=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
∴$\frac{1}{2}$S′=PN•PE=sinθ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2θ），
=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
sin（2θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
$\frac{1}{2}$S′≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S′≤2-$\sqrt{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴前者最大值更大．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．