Question

【题目】已知数列{an}的前n项为和Sn，点（n，）在直线y＝x＋上．数列{bn}满足bn+2－2bn+1＋bn＝0（nN*），且b3＝11，前9项和为153．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）求数列的前项和

（3）设nN*，f（n）＝问是否存在mN*，使得f（m＋15）＝5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），bn＝3n＋2．（2）（3）11

【解析】试题分析：（１）由点在直线上，求得 ，利用 与 的关系求出 通项公式，由 得 是等差数列，再算出首项和公差，写出通项公式；（２）化简 的表达式，采用错位相减法求和；（３）分 为奇数和偶数，讨论 是否成立．

试题解析：（Ⅰ）∵点(n，)在直线y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，所以6，当时， n＋5．且6也适合，所以

∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．∴数列{bn}是等差数列，∵b3＝11，它的前9项和为153，设公差为d，则b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．

（Ⅱ）令

则

（Ⅲ） nN*，f(n)＝＝

当m为奇数时，m＋15为偶数，则有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)，解得m＝11

当m为偶数时，m＋15为奇数．若f(m＋15)＝5f(m)成立， m＋15＋5＝5（3m＋2），此时不成立．

所以当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)．