Question

已知集合A={x|log₂（6x+12）≥log₂（x²+3x+2），x∈R}，B={x|2 x2-m＜4^x，x∈R}
（1）当m=3时，求A∩（∁_RB）．
（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值．

Answer 1

考点：交集及其运算,交、并、补集的混合运算

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）由对数函数、指数函数的性质求出集合A和B，由补集和交集的运算求出A∩（∁_RB）；
（2）由指数函数的性质化简2 x2-m＜4^x，再由A∩B={x|-1＜x＜4}，求出实数m的值．

解答： 解：（1）由log₂（6x+12）≥log₂（x²+3x+2）得，

6x+12≥x2+3x+2 x2+3x+2＞0

，解得-1≤x≤5，即A={x|-1＜x≤5}，
因为m=3，且2 x2-m＜4^x=2^2x，所以x²-3＜2x，
解得-1＜x＜3，即B={x|-1＜x＜3}，
所以C_RB={x|x≤-1或x≥3}．
则A∩C_RB={x|3≤x≤5}，
（2）由2 x2-m＜4^x=2^2x得，x²-m＜2x，即x²-2x-m＜0，
因为A∩B={x|-1＜x＜4}，且A={x|-1＜x≤5}，
所以4是方程x²-2x-m=0的一个根，代入得m=8，
则实数m的值是8．

点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，以及对数函数、指数函数的性质，属于中档题．