Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n＞0，且S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2}$，则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2014}}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的性质得a₂+a₂₀₁₄=1，由此利用均值定理能求出$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2014}}$的最小值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n＞0，且S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2}$，
∴a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=1，
∴a₂•a₂₀₁₄≤$（\frac{{a}_{2}+{a}_{2014}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2014}}$=$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2}}{{{a}_{2}•a}_{2014}}$=$\frac{1}{{a}_{2}•{a}_{2014}}$≥4，
当且仅当${a}_{2}={a}_{2014}=\frac{1}{2}$时取等号，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2014}}$的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查等差数列中两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和均值定理的合理运用．