Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若是的中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定，只需证明直线与平面上的某一条直线平行即可，而条件中直接给出了，因此结合线面平行的判定，可直接证明平面；（2）首先根据条件中给出的数据易得，从而根据勾股定理可得，再由条件平面可得，从而根据线面垂直的判定即可证得平面；（3）由是即可得到面的距离是到面距离的一半，从而.

试题解析：（1）∵，且平面，平面，∴平面； 4分

（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，

∴，又∵，∴，在中，，

∴，，∴，则，

∴，∴， 8分

又∵平面，∴，，∴平面； 10分

（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半，

∴. 14分

考点：利用导数考查函数的单调性.