Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+$\sqrt{3}$，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．
（2）由f（A）=1+$\sqrt{3}$，得A=$\frac{π}{3}$，由恒等式得到B=$\frac{π}{2}$，所以得到b．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$．
=$\sqrt{3}$sin2x+sin（2x+$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{3}$．
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．
（2）∵f（A）=1+$\sqrt{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}$-B），
∴cosB=0，即B=$\frac{π}{2}$，
∴由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简及由解析式求单调区间，以及正弦定理的应用．