Question

13．将一颗质地均匀的骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使直线l₁：x+ay=3，l₂：bx+6y=3平行的概率为P₁，不平行的概率为P₂，若点（P₁，P₂）在圆（x-m）²+y²=$\frac{65}{72}$的内部，则实数m的取值范围是（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由l₁∥l₂，推导出ab=6，从而求出能使l₁∥l₂的概率和不能平行的概率，由此能求出m的取值范围．

解答 解：∵直线l₁：x+ay=3，l₂：bx+6y=3，
∴直线l₁的斜率为${k_1}=-\frac{1}{a}$，直线l₂的斜率为${k_2}=-\frac{b}{6}$，
∵l₁∥l₂，∴必有k₁=k₂，∴-$\frac{1}{a}=-\frac{b}{6}$，∴ab=6，
又a，b由骰子投掷得到的数字，
∴能使l₁∥l₂的数字分别为（2，3），（3，2），（6，1），
即能使l₁∥l₂的概率为p₁=$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$，不能平行的概率为p₂=$\frac{11}{12}$，
又点$8-4{m^2}=\frac{8}{9}$，∴$m=±\frac{4}{3}$在圆l的内部，
∴有${（\frac{1}{12}-m）^2}+{（\frac{11}{12}）^2}＜\frac{65}{72}$，
解得m的取值范围（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查古典概型、两直线平行的充要条件、点与圆的位置关系，是中档题．