Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}$=3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于椭圆C的左顶点A在圆O：x²+y²=16上．令y=0，解得x=±4，可得a=4．又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b²=a²-c²．联立解出即可得出．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立化简得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0．利用-4×x₁=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，解得x₁．可得|AP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-（-4）|．又圆心到直线AP的距离为d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，可得|AQ|=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$．利用$\frac{|PQ|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|}{|AP|}$-1=3，解此方程即可判断出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点A在圆O：x²+y²=16上．令y=0，得x=±4，∴a=4．
又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b²=a²-c²．
联立解得c=2$\sqrt{3}$，b=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线AP的方程为y=k（x+4），
与椭圆方程联立化简得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0．
∵-4为上面方程的一个根，∴-4×x₁=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，解得x₁=$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴|AP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-（-4）|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．
又圆心到直线AP的距离为d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴|AQ|=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$=$\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∵$\frac{|PQ|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|}{|AP|}$-1=$\frac{\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}}{\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}}$-1=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-1=3，
此方程无解，
∴不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}$=3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及其圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．