Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PN⊥平面ADMN．

Answer 1

分析 （1）欲证MN∥平面PAD，根据线面平行的判定定理知，只须证明MN∥AD，结合中点条件即可证明得；
（2）欲证PN⊥平面ADMN，根据线面垂直的性质定理，只须证明AN⊥PN及AD⊥PN，而这此垂直关系的证明较为明显，从而即可证得结论．

解答 证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以MN∥BC，…（1分）
又因为AD∥BC，所以MN∥AD…（2分）
又AD?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD…（4分）
（2）因为AN为等腰△ABP底边PB上的中线，所以AN⊥PN…（5分）
因为PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PN?平面PAB，所以AD⊥PN…（6分）
因为AN⊥PN，AD⊥PN，且AN∩AD=A，
所以PN⊥平面ADMN…（7分）

点评 本小题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质，考查了运算求解能力，考查了空间想象力及推理论证能力，属于中档题．