Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bsinA=2$\sqrt{3}$asinC．
（1）若A+3C=π，求sinB的值；
（2）若c=3，△ABC的面积为3$\sqrt{2}$，求a．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和为π，得B=2C，由正弦定理得到sinB．
（2）由三角形的面积公式以及余弦定理得到a的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵A+3C=π，∴B=2C，
∵3bsinA=2$\sqrt{3}$asinC．得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2sinCcosC}{sinC}$，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinB=sin2C=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）∵3bsinA=2$\sqrt{3}$asinC．
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵c=3，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=3$\sqrt{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosA=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=9或33，
∴a=3或$\sqrt{33}$．

点评 本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及余弦定理．