Question

5．设α为锐角，若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，则cos（2α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由cos（2α-$\frac{π}{6}$）=cos[（α+$\frac{π}{6}$）+（α-$\frac{π}{3}$）]，分别根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出答案．

解答 解：∵α为锐角，
∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），α-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）
∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=sin[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{6}$）]=sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2α-$\frac{π}{6}$）=cos[（α+$\frac{π}{6}$）+（α-$\frac{π}{3}$）]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos（α-$\frac{π}{3}$）-sin（α+$\frac{π}{6}$）sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{24}{25}$，
故答案为：$\frac{24}{25}$

点评 本题着重考查了两角和与差的余弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．