Question

16．若x，y，z均为正实数，且x²+y²+z²=1，则$\frac{{{{（z+1）}^2}}}{2xyz}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得1-z²=x²+y²≥2xy，当且仅当x=y取得等号，则$\frac{{{{（z+1）}^2}}}{2xyz}$≥$\frac{（1+z）^{2}}{z（1-{z}^{2}）}$=$\frac{1+z}{z（1-z）}$=$\frac{1}{3-（1+z）-\frac{2}{1+z}}$，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：x，y，z均为正实数，且x²+y²+z²=1，
可得1-z²=x²+y²≥2xy，当且仅当x=y取得等号，
则$\frac{{{{（z+1）}^2}}}{2xyz}$≥$\frac{（1+z）^{2}}{z（1-{z}^{2}）}$=$\frac{1+z}{z（1-z）}$=$\frac{1}{3-（1+z）-\frac{2}{1+z}}$≥$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$=3+2$\sqrt{2}$．
当且仅当1+z=$\frac{2}{1+z}$，即z=$\sqrt{2}$-1，x=y=$\sqrt{\sqrt{2}-1}$，
取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用消元法和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．