Question

7．已知等差数列{a_n}，S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n=an²+4n+a-4（a∈R），记数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，则T₁₀=（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{9}{40}$
• D． $\frac{5}{22}$

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}的前n项和的性质及其S_n=an²+4n+a-4，可得a-4=0，a=4．于是S_n=4n²+4n.$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：由等差数列{a_n}的前n项和的性质及其S_n=an²+4n+a-4，可得a-4=0，解得a=4．
∴S_n=4n²+4n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T₁₀=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{11}）$=$\frac{5}{22}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式的性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．