Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx+sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，$\frac{3}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{m}$．
（1）求函数f（x）的最小周期T及单调递增区间；
（2）已知a，b，c分别△ABC内角A，B，C的对边a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（A）是函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由向量的点乘运算，得到f（x）的解析式，由三角函数公式化简后得到最小正周期与递增区间．
（2）由x的范围，得到f（x）的最大值，得A，由此得到三角形面积．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx+sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，$\frac{3}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{m}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$cosxsinx+sin²x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∴函数f（x）的最小周期T=π．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∵当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值3，
∴f（A）=3，得A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
可得：12=b²+16-4b，
∴b=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查由向量的点乘运算，三角函数化简，以及由x得到A．