Question

13．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，则下列结论错误的是（　　）

• A． f（x）在区间（0，$\frac{π}{6}$）上单调递增
• B． f（x）的一个对称中心为（-$\frac{π}{12}$，0）
• C． 当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，fx）的值域为[1，$\sqrt{3}$]
• D． 先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，再向左平移$\frac{π}{8}$个单位后得到函数y=2cos（4x+$\frac{π}{6}$）的图象

Answer 1

分析 利用倍角公式降幂，再由两角和的正弦化简，然后逐一核对四个命题得答案．

解答 解：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
当x∈（0，$\frac{π}{6}$）时，$2x+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$），则f（x）在区间（0，$\frac{π}{6}$）上单调递增，A正确；
∵f（$-\frac{π}{12}$）=$2sin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）=2sin0=0$，∴f（x）的一个对称中心为（-$\frac{π}{12}$，0），B正确；
当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，$2x+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，f（x）的值域为[1，2]，∴C错误；
先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到y=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再向左平移$\frac{π}{8}$个单位后得到函数y=2sin[4（x+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{π}{2}+4x+\frac{π}{6}$）=2cos（4x+$\frac{π}{6}$）的图象，D正确．
∴错误的命题是C．
故选：C．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了两角和与差的正弦及倍角公式的应用，是中档题．