Question

1．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ=0，f（x）的最小值为$-\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 由函数为偶函数求得φ值，得到f（x）=cos2x+cosx，展开二倍角余弦，然后利用配方法求得最值．

解答 解：∵函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，
∴f（-x）-f（x）=cos（-2x）+cos（-x+φ）-cos2x-cos（x+φ）=0恒成立，
即cos（-x+φ）-cos（x+φ）=-2sinφ•sin（-x）=2sinφ•sinx=0恒成立，
∵φ∈[0，π），∴φ=0；
f（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=$2（cosx+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$．
∴f（x）的最小值为$-\frac{9}{8}$．
故答案为：0，$-\frac{9}{8}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的奇偶性的性质，训练了利用配方法求二次函数的最值，属中档题．