Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其右焦点为F（c，0），第一象限的点A在椭圆C上，且AF⊥x轴．
（1）若椭圆C过点（1，-$\frac{3}{2}$），求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：y=x-c与椭圆C交于M、N两点，且B（4c，y_B）为直线l上的点．证明：直线AM，AB、AN的斜率满足k_AB=$\frac{{k}_{AM}+{k}_{AN}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由离心率公式可得椭圆C的方程为3x²+4y²=12c²，将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式化简整理，即可得证．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
将点（1，-$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：由e=$\frac{1}{2}$，可得a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
则椭圆C的方程为3x²+4y²=12c²，
将直线l：y=x-c代入椭圆方程，可得7x²-8cx-8c²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{8c}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8{c}^{2}}{7}$，
由题意可得B（4c，3c），A（c，$\frac{3c}{2}$），
则k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}c}{{x}_{1}-c}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3c}{2}}{{x}_{2}-c}$=$\frac{{x}_{1}-\frac{5}{2}c}{{x}_{1}-c}$+$\frac{{x}_{2}-\frac{5}{2}c}{{x}_{2}-c}$
=$\frac{{2x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}c（{x}_{1}+{x}_{2}）+5{c}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+{c}^{2}-c（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{-16{c}^{2}-28{c}^{2}+35{c}^{2}}{-8{c}^{2}+7{c}^{2}-8{c}^{2}}$=1，
k_AB=$\frac{3c-\frac{3}{2}c}{4c-c}$=$\frac{1}{2}$，
则k_AB=$\frac{{k}_{AM}+{k}_{AN}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率之间的关系，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．