Question

10．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其右焦点到直线2ax+by-$\sqrt{2}$=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点P（0，-$\frac{1}{3}$）的直线l交椭圆C₁于A，B两点．
①证明：线段AB的中点G恒在椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的内部；
②判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其右焦点到直线2ax+by-$\sqrt{2}$=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C₁的方程；
（2）①椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，设直线l方程为y=kx-$\frac{1}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（1+2k²）x²-$\frac{4}{3}$kx-$\frac{16}{9}$=0．由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C₂内部；
②当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+（y+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{16}{9}$，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q（0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．

解答 解：（1）由椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b≥1）的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
其右焦点到直线2ax+by-$\sqrt{2}$=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，$\frac{|2ac-\sqrt{2}|}{\sqrt{4{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
则椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①证明：椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，
当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，-$\frac{1}{3}$）在椭圆C₂内部．
当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx-$\frac{1}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
并整理，得（1+2k²）x²-$\frac{4}{3}$kx-$\frac{16}{9}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{4k}{3（1+2{k}^{2}）}$，
即有y₁+y₂=k（x₁+x₂）-$\frac{2}{3}$=-$\frac{2}{3（1+2{k}^{2}）}$，
可得G（$\frac{2k}{3（1+2{k}^{2}）}$，-$\frac{1}{3（1+2{k}^{2}）}$），
由$\frac{1}{18（1+2{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{k}^{2}}{9（1+2{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{1+8{k}^{2}}{18（1+4{k}^{2}+4{k}^{4}）}$
=$\frac{1+8{k}^{2}}{72{k}^{4}+72{k}^{2}+18}$＜1恒成立，
故点G恒在椭圆C₂内部；
②当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+（y+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{16}{9}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+（y+\frac{1}{3}）^{2}=\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
由此可知若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），
下面证明Q（0，1）适合题意．
由①知：x₁+x₂=$\frac{4k}{3（2{k}^{2}+1）}$，x₁•x₂=-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$，
可得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂+（kx₁-$\frac{4}{3}$）（kx₂-$\frac{4}{3}$）=（1+k²）x₁x₂-$\frac{4}{3}$k（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$
=（1+k²）（-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$）-$\frac{4}{3}$k•$\frac{4k}{3（2{k}^{2}+1）}$+$\frac{16}{9}$=
$\frac{-16-16{k}^{2}-16{k}^{2}+16（1+2{k}^{2}）}{9（1+2{k}^{2}）}$=0，
即有$\overrightarrow{QA}$⊥$\overrightarrow{QB}$，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上．
综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，线段中点恒在椭圆内部的证明，考查以线段为直线的圆是否恒过定点的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和向量数量积的合理运用．