Question

7．已知函数f（x）=-x³+3x+a是奇函数，且函数g（x）=|f（x）-k|-1有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出a=0，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=-x³+3x+a是奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=a=0，
则a=0，
则函数f（x）=-x³+3x，
由函数g（x）=|f（x）-k|-1有两个零点，等价为g（x）=|f（x）-k|-1=0有两个根，
即|f（x）-k|=1，即f（x）=k+1或f（x）=k-1共有两个不同的根，
函数f（x）的导数f′（x）=-3x²+3=-3（x²-1）
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减，
即当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=1-3=-2，
当x=1时，函数取得极大值f（1）=-1+3=2，
作出函数f（x）的图象如图：
∵k+1＞k-1，
∴若f（x）=k+1或f（x）=k-1共有两个不同的根，
则满足k+1＜-2或k-1＞2，
即k＞3或k＜-3，
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性的性质求出a的值，以及利用数形结合转化为两个函数的图象的交点个数问题是解决本题的关键．