Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x+2}{|x|+2}$，x∈R，则f（x²-2x）＜f（3x-4）的解集是（1，2）．

Answer 1

分析 讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式$\left\{\begin{array}{l}{3x-4≥0}\\{{x}^{2}-2x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3x-4＜0}\\{{x}^{2}-2x＜0}\\{{x}^{2}-2x＜3x-4}\end{array}\right.$分别解出它们，再求并集即可．

解答 解：当x≥0时，f（x）=1，
当x＜-0时，f（x）=$\frac{x+2}{-x+2}$=-1-$\frac{4}{x-2}$
作出f（x）的图象，可得f（x）在（-∞，0）上递增，
不等式f（x²-2x）＜f（3x-4）即为，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-4≥0}\\{{x}^{2}-2x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3x-4＜0}\\{{x}^{2}-2x＜0}\\{{x}^{2}-2x＜3x-4}\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}$≤x＜2或1＜x＜$\frac{4}{3}$，
即有1＜x＜2．
则解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．