Question

8．已知函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}{cos^2}$x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式和辅助角公式化简解析式，由此得到最小正周期．
（Ⅱ）由x的范围得到2x-$\frac{π}{3}$的范围，由此得到f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}{cos^2}$x，
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为T=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[-$\sqrt{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
∴f（x）的最大值和最小值分别为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$和-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解析式的化简和由x的范围得到f（x）的值域问题，需熟练掌握公式．