Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，b=$\sqrt{3}$，且2sinAsin²$\frac{A+B}{2}$+cosAsin（A+B）-sinB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若B是锐角，求边c的大小．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式可得sinA，再利用正弦定理可得sinB．
（II）利用同角三角函数基本关系式可得cosB，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵2sinAsin²$\frac{A+B}{2}$+cosAsin（A+B）-sinB=sinA-sinAcos（A+B）+cosAsin（A+B）-sinB=sinA+sinB-sinB=sinA，
∴$sinA=\frac{1}{3}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴$\frac{1}{{\frac{1}{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{sinB}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅱ）∵B是锐角，∴${cosB}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
又∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
即$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{1+{c^2}-3}}{2c}$，$3{c^2}-2\sqrt{6}c-6=0$，
则$c=\frac{{\sqrt{6}±2\sqrt{6}}}{3}$，由于c＞0，∴$c=\sqrt{6}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．