Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=-1，且n（a_n+1-a_n）=2-a_n+1（n∈N^*），现给出下列4个结论：
①数列{a_n}是递增数列；
②数列{a_n}是递减数列；
③存在n∈N^*，使得（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）＞2016；
④存在n∈N^*，使得（2-a₁）²+（2-a₂）²+…+（2-a_n）²＞2016；
其中正确的结论的序号是②③（请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 对于①②：由n（a_n+1-a_n）=2-a_n+1（n∈N^*），变形为（n+1）a_n+1-na_n=2，利用等差数列的通项公式可得：a_n=2-$\frac{3}{n}$，即可判断出正误．
对于③：（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）=3$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$，由于n→+∞时，1+$\frac{1}{2}+$…+$\frac{1}{n}$→+∞，即可判断出正误；
对于④：（2-a_n）²=$\frac{9}{{n}^{2}}$＜$\frac{9}{n（n-1）}$=9$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，（n≥2）时，利用“裂项求和”即可判断出正误．

解答 解：对于①②：∵n（a_n+1-a_n）=2-a_n+1（n∈N^*），
∴（n+1）a_n+1-na_n=2，
∴数列{na_n}是等差数列，首项为-1，公差为2．
∴na_n=-1+2（n-1）=2n-3，
解得a_n=2-$\frac{3}{n}$，
∴数列{a_n}是单调递增数列，
因此①不正确，②正确．
对于③：（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）=2n-$（2n-\frac{3}{1}-\frac{3}{2}-…-\frac{3}{n}）$=3$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$，
由于n→+∞时，1+$\frac{1}{2}+$…+$\frac{1}{n}$→+∞，因此存在n∈N^*，使得（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）＞2016，正确．
对于④：（2-a_n）²=$\frac{9}{{n}^{2}}$＜$\frac{9}{n（n-1）}$=9$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，（n≥2）时，
∴n≥2时，（2-a₁）²+（2-a₂）²+…+（2-a_n）²＜9+9$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=9+9$（1-\frac{1}{n}）$＜18，
因此不存在n∈N^*，使得（2-a₁）²+（2-a₂）²+…+（2-a_n）²＞2016．
综上可得：只有②③正确．
故答案为：②③．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”、数列的单调性、“调和级数”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．