Question

16．已知函数f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）$＞\frac{2}{x+2}$．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值得关系即可求出；
（2）令h（x）=ln（1+x）-$\frac{2x}{x+2}$，利用导数和最值得关系即可证明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$（x＞0），
设g（x）=$\frac{x}{1+x}$-ln（1+x），x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1+x-x}{（1+x）^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{-x}{（1+x）^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为减函数，
（2）令h（x）=ln（1+x）-$\frac{2x}{x+2}$，
∴h′（x）=$\frac{{x}^{2}}{（1+x）（2+x）^{2}}$，
x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴ln（1+x）＞$\frac{2x}{x+2}$，
从而，x＞0时，f（x）＞$\frac{2}{x+2}$得证．

点评 本题考查了导数和函数的单调性最值得关系，考查了转化思想，培养了学生的运算能力，分析解决问题的能力，属于中档题．