Question

18．已知函数h（t）=t+$\frac{9}{t+1}$-3，t∈（0，4）在t=a时取到最小值，三个正数x，y，z满足xyz（x+y+z）=a，则（x+y）（y+z）的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函数h（t）=t+$\frac{9}{t+1}$-3=t+1+$\frac{9}{t+1}$-4，由基本不等式求得t=2，a=2取得最小值，再由y（x+y+z）=$\frac{2}{xz}$，（x+y）（y+z）=xz+y（x+y+z）=xz+$\frac{2}{xz}$，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：函数h（t）=t+$\frac{9}{t+1}$-3
=t+1+$\frac{9}{t+1}$-4，
由t∈（0，4），即t+1∈（1，5），
则h（t）≥2$\sqrt{（t+1）•\frac{9}{t+1}}$-4=2，
当且仅当t+1=$\frac{9}{t+1}$，即t=2时，取得最小值2．
即有a=2，xyz（x+y+z）=2，
则y（x+y+z）=$\frac{2}{xz}$，
即有（x+y）（y+z）=xz+y（x+y+z）=xz+$\frac{2}{xz}$≥2$\sqrt{2}$．
当且仅当xz=$\sqrt{2}$时，取得最小值2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三等，属于中档题．