Question

设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．

Answer 1

解：(1)由题意知a＝2，

∴一条渐近线为y＝ x.

即bx－2y＝0.∴＝.

∴b²＝3，∴双曲线的方程为－＝1.

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，D(x₀，y₀)，

则x₁＋x₂＝tx₀，y₁＋y₂＝ty₀.

将直线方程代入双曲线方程得

x²－16x＋84＝0，

则x₁＋x₂＝16，y₁＋y₂＝12.

∴

∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．