Question

【题目】如图，在四棱锥中，面，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】

试题（1）取中点连结. ，推导出四边形 是平行四边形，从而由此能证明平面．
（2）到面的距离等于到面的距离的一半，且，从而三棱锥的高是2，由此能求出三棱锥的体积．

试题解析：(1)如图，取PB中点M，连结AM，MN.

∵MN是△BCP的中位线,∴MN∥BC，且MN=BC.

依题意得,ADBC,则有ADMN

∴四边形AMND是平行四边形,∴ND∥AM

∵ND面PAB，AM面PAB，

∴ND∥面PAB

(2)∵N是PC的中点，

∴N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，

∴三棱锥NACD的高是2.

在等腰△ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为.

BC∥AD,∴C到AD的距离为，

∴S△ADC=.

∴三棱锥NACD的体积是.