Question

10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC与F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示
（Ⅰ） 求证：平面AEF⊥平面BCD；
（Ⅱ） 在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意知：AE⊥BD，EF⊥BD，根据线面垂直的判定定理得：BD⊥平面AEF，由此能证明平面AEF⊥平面BCD．
（II）过点E作EN∥CD交BC于点N，再过点N作NM∥AC交AF于点M，推导出平面ENM∥平面ACD，从而EM∥平面ACD，由此能求出存在线段AF上满足条件的点M，使得EM∥平面ADC，点M位于线段AF的四等分点处，且AM=3FM．

解答 证明：（I）由题意知：AE⊥BD，EF⊥BD，
而AE∩EF=E，AE，EF?平面AEF，
故根据线面垂直的判定定理可得：BD⊥平面AEF，
又BD?平面BCD，故有平面AEF⊥平面BCD．
解：（II）线段AF上存在满足条件的点M使得EM∥平面ADC，理由如下：
过点E作EN∥CD交BC于点N，再过点N作NM∥AC交AF于点M，
而EN∩NM=N，AC∩CD=C．EN，NM?平面ENM，AC，CD?平面ACD，
故有平面ENM∥平面ACD，
又EM?平面ENM，故EM∥平面ACD，
由题意知点F为线段BC的三等分点，且$FC=2BF=\frac{2}{3}BC$，
而点N为线段BC的中点，$CN=BN=\frac{1}{2}BC$，
于是$FN=FC-NC=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{3}BC=\frac{1}{6}BC$，
可得点N为线段CF的四等分点，且CN=3FN，
从而点M为线段AF的四等分点，且AM=3FM，
因此，存在线段AF上满足条件的点M，使得EM∥平面ADC，
点M位于线段AF的四等分点处，且AM=3FM．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．