Question

5．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是平面A₁B₁C₁D₁内一点，且BM∥平面ACD₁，则tan∠DMD₁的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，连接A₁C₁，B₁D₁，交于点M，点M满足条件，通过证明得出A₁C₁∥平面ACD₁，BM∥平面ACD₁，得出点M在直线A₁C₁上时，都满足BM∥ACD₁；
从而求出tan∠DMD₁的最大值．

解答 解：如图所示，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C₁，B₁D₁，交于点M，则点M满足条件；
证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，OB₁，
则A₁A∥C₁C，且A₁A=C₁C，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁，
又AC?平面ACD₁，且A₁C₁?平面ACD₁，
∴A₁C₁∥平面ACD₁；
同理BM∥D₁O，BM∥平面ACD₁，
∴当M在直线A₁C₁上时，都满足BM∥ACD₁；
∴tan∠DMD₁=$\frac{{DD}_{1}}{{MD}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$是最大值．
故选：D．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与运算能力的应用问题，是综合性题目．