Question

17．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角的余弦值是0．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁E与GF所成的角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，
∴A₁（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{GF}$=（1，-1，-1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{GF}$=-1+0+1=0，
∴A₁E⊥GF，
∴异面直线A₁E与GF所成的角的余弦值为0．
故答案为：0．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．