Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF₁|=6|PF₂|，则该双曲线离心率的最大值为$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 运用双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由|PF₁|=6|PF₂|，可得|PF₂|=$\frac{2}{5}$a，再由双曲线的性质可得|PF₂|≥c-a，
解不等式结合离心率公式即可得到最大值．

解答 解：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=6|PF₂|，可得
|PF₂|=$\frac{2}{5}$a，
又|PF₂|≥c-a，
即有$\frac{2}{5}$a≥c-a，可得c≤$\frac{7}{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{7}{5}$，
当P为双曲线的右顶点时，e取得最大值$\frac{7}{5}$．
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的最值的求法，注意运用双曲线的定义和双曲线的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．