Question

18．若{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=$\frac{3}{2}{x^2}-\frac{1}{2}x$的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求：使得${T_n}＞\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

Answer 1

分析 （1）根据点（n，S_n）均在函数图象上，把点坐标代入确定出S_n，由a_n=S_n-S_n-1确定出通项公式即可；
（2）根据（1）确定出b_n与T_n，根据T_n是增函数，求出T_n的最小值T₁，令$\frac{m}{20}$小于最小值，求出最大正整数m的值即可．

解答 解：（1）由题意知：S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n-2，
当n=1时，a₁=1，适合上式，
则a_n=3n-2；
（2）根据题意得：b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$=1-$\frac{1}{3n+1}$，
∴{T_n}在n∈N^*上是增函数，∴（T_n）_min=T₁=$\frac{3}{4}$，
要使T_n＞$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立，只需$\frac{m}{20}$＜$\frac{3}{4}$，即m＜15，
则最大的正整数m为14．

点评 此题考查了数列的求和，以及数列递推式，熟练掌握数列的性质是解本题的关键．