Question

13．PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD为定长，当AB的长度变化时，异面直线PC与AD所成角的取值范围是（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与AD所成角的取值范围．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AD，AB=x，
则P（0，0，a），C（x，a，0），D（0，a，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（0，a，0），$\overrightarrow{PC}$=（x，a，-a），
设异面直线PC与AD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{{a}^{2}}{a\sqrt{2{a}^{2}+x}}$，
∵x＞0，∴当x→0时，cosθ→$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ→$\frac{π}{4}$；
当x→+∞时，cosθ→0，θ→$\frac{π}{2}$．
∴异面直线PC与AD所成角的取值范围是（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）．
故答案为：$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．

点评 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．