Question

2．已知常数p满足0＜p＜1，数列{x_n}满足x₁=p+$\frac{1}{p}$，x_n+1=${x}_{n}^{2}$-2．
（1）求x₂，x₃，x₄；
（2）猜想{x_n}的通项公式，并给出证明
（3）求证：x_n+1＞x_n对n∈N^*成立
（4）求证：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．

Answer 1

分析 （1）数列{x_n}满足x₁=p+$\frac{1}{p}$，x_n+1=${x}_{n}^{2}$-2．可得：x₂=${x}_{1}^{2}$-2=${p}^{2}+\frac{1}{{p}^{2}}$．同理可得：x₃=${p}^{4}+\frac{1}{{p}^{4}}$，x₄=${p}^{8}+\frac{1}{{p}^{8}}$．
（2）猜想{x_n}的通项公式为：x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，利用数学归纳法证明即可．
（3）x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，（n∈N^*），0＜p＜1，可得x_n＞0，${p}^{{2}^{n-2}}$＜$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}$．可得x_n+1-x_n=${x}_{n}^{2}-{x}_{n}$-2=（x_n-2）（x_n+1），即可证明．
（4）利用数学归纳法证明即可．

解答 （1）解：∵数列{x_n}满足x₁=p+$\frac{1}{p}$，x_n+1=${x}_{n}^{2}$-2．
∴x₂=${x}_{1}^{2}$-2=$（p+\frac{1}{p}）^{2}$-2=${p}^{2}+\frac{1}{{p}^{2}}$．
同理可得：x₃=${p}^{4}+\frac{1}{{p}^{4}}$，x₄=${p}^{8}+\frac{1}{{p}^{8}}$．
（2）解：猜想{x_n}的通项公式为：x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，
下面利用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，x₁=p+$\frac{1}{p}$，成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时成立，即x_k=${p}^{{2}^{k-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{k-1}}}$．
则x_k+1=${x}_{k}^{2}$-2=$（{p}^{{2}^{k-1}}+\frac{1}{{p}^{{2}^{k-1}}}）^{2}$-2=${p}^{{2}^{k+1-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{k+1-1}}}$，
因此当n=k=1时假设成立，．
综上可得：{x_n}的通项公式为：x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，（n∈N^*）．
（3）证明：∵x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，（n∈N^*），0＜p＜1，
∴x_n＞0，${p}^{{2}^{n-2}}$＜$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}$．
∴x_n+1-x_n=${x}_{n}^{2}-{x}_{n}$-2=（x_n-2）（x_n+1）=$（{p}^{{2}^{n-2}}-\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}）^{2}$（x_n+1）＞0，
∴x_n+1＞x_n．
（4）证明：下面利用数学归纳法证明：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．0＜p＜1．
①n=1时，$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{p+\frac{1}{p}}$＜$\frac{1}{\frac{1}{p}}$=p．
②假设n=k（k∈N^*）时：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$＜p，
∵x_n+1＞x_n＞0．
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k+1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$）＜$\frac{1+p}{{x}_{1}}$=p，
因此n=k+1时也成立．
综上可得：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．

点评 本题考查了递推关系、乘法公式、数学归纳法、不等式的性质，考查了猜想归纳推理能力与计算能力，属于难题．