练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    14．已知数列{an}、{bn}满足：an+1=an+1，bn+1=bn+$\frac{1}{2}{a}_{n}$，cn=${{a}_{n}}^{2}$-4bn，n∈N*：
    （1）若a1=1，b1=0，求数列{an}、{bn}的通项公式：
    （2）证明：数列{cn}是等差数列：
    （3）定义fn（x）=x2+anx+bn，证明：若存在K∈N*，使得ak、bk为整数，且fk（x）有两个整数零点，则必有无穷多个fn（x）有两个整数零点：

    分析 （1）通过an+1=an+1、a1=1可知数列{an}是首项、公差均为1的等差数列；通过bn+1-bn=$\frac{1}{2}$n，当n≥2时利用bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1计算，进而可得结论；
    （2）通过（1）代入计算即得结论；
    （3）通过分析可知方程x2+akx+bk=0有两个整数根，利用△=k＞0，只需令$\frac{-{a}_{k}±\sqrt{△}}{2}$=$\frac{-k±\sqrt{k}}{2}$为整数即可．

    解答 （1）解：∵an+1=an+1，a1=1，
    ∴数列{an}是首项、公差均为1的等差数列，
    ∴an=n；
    又∵bn+1=bn+$\frac{1}{2}{a}_{n}$，
    ∴bn+1-bn=$\frac{1}{2}$n，
    又∵b1=0，
    ∴当n≥2时，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
    =$\frac{1}{2}$[（n-1）+（n-2）+…+1+0]
    =$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n-1）}{2}$
    =$\frac{n（n-1）}{4}$，
    又∵当n=1时上式成立，
    ∴bn=$\frac{n（n-1）}{4}$；
    （2）证明：∵an=n，bn=$\frac{n（n-1）}{4}$，
    ∴cn=${{a}_{n}}^{2}$-4bn=n2-4•$\frac{n（n-1）}{4}$=n，
    ∴数列{cn}是等差数列；
    （3）证明：依题意，方程x2+akx+bk=0有两个整数根，
    则△=${{a}_{k}}^{2}$-4bk=k2-4•$\frac{k（k-1）}{4}$=k＞0，且$\frac{-{a}_{k}±\sqrt{△}}{2}$=$\frac{-k±\sqrt{k}}{2}$为整数，
    又∵ak、bk为整数，
    ∴k=4t（t∈N*）满足题意，
    ∴必有无穷多个fn（x）有两个整数零点．

    点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查并项相消法的逆用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球．记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y
    （1）列举出所有基本事件；
    （2）求x+y是3的倍数的概率．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    5．一种计算的游戏，计算$|\begin{array}{l}{2}&{3}\\{6}&{5}\end{array}|$=-8，$|\begin{array}{l}{3}&{2}\\{5}&{1}\end{array}|$=-7，$|\begin{array}{l}{4}&{1}\\{4}&{5}\end{array}|$=16，请你帮忙算一算，$|\begin{array}{l}{5}&{3}\\{6}&{5}\end{array}|$=7．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．已知常数p满足0＜p＜1，数列{xn}满足x1=p+$\frac{1}{p}$，xn+1=${x}_{n}^{2}$-2．
    （1）求x2，x3，x4；
    （2）猜想{xn}的通项公式，并给出证明
    （3）求证：xn+1＞xn对n∈N*成立
    （4）求证：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+2a|n-2|（n∈N+），数列{an}为递增数列，则实数a的取值范围（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    19．设P是△ABC内一点，且$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AP}$=（　　）
    A．$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$B．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$C．$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$D．$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=2，an+1bn=anbn+2an+4
    （Ⅰ）若bn=2an，求证：当n≥2时，$n+2≤{a_n}≤\frac{3}{2}n+1$；
    （Ⅱ）若${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}{b_n}+2{b_n}+4}}{a_n}$，证明an＜10．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    3．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下：
    [11.5，15.5）2；
    [15.5，19.5）4；
    [19.5，23.5）5；
    [23.5，27.5）16；
    [27.5，31.5）1l；
    [31.5，35.5）12；
    [35.5.39.5）7；
    [39.5，43.5）3；
    根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5，39.5）的概率约是（　　）
    A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{2}{3}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    4．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{（x+1）^2}，\;a≤x＜k\\{log_2}（x+1）+1，\;\;k≤x≤1.\end{array}\right.$若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）
    A．（-∞，-2]B．[-2，-1]C．[-2，-$\frac{1}{2}$）D．[-2，0]

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案